Matemática básica Ejemplos

$\frac{a^{2} - 64}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{a^{2} - 8^{2}}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = a$ y $b = 8$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 a - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 2

Factoriza $4$ de $4 a - 20$ .

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 a$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a) - 20} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 2.2

Factoriza $4$ de $- 20$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 a + 4 \cdot - 5} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 2.3

Factoriza $4$ de $4 a + 4 \cdot - 5$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 64}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 16 a + 8^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$16 a = 2 \cdot a \cdot 8$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 8 + 8^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = a$ y $b = 8$ .

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{{(a + 8)}^{2}}{a^{2} + 3 a - 40}$

Paso 4

Factoriza $a^{2} + 3 a - 40$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 40$ y cuya suma es $3$ .

$- 5, 8$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5)} \cdot \frac{{(a + 8)}^{2}}{(a - 5) (a + 8)}$

Paso 5

Combinar.

$\frac{(a + 8) (a - 8) {(a + 8)}^{2}}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 6

Multiplica $a + 8$ por ${(a + 8)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Mueve ${(a + 8)}^{2}$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a + 8) (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 6.2

Multiplica ${(a + 8)}^{2}$ por $a + 8$ .

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Paso 6.2.1

Eleva $a + 8$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} {(a + 8)}^{1} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(a + 8)}^{2 + 1} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{3} (a - 8)}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 7

Cancela el factor común de ${(a + 8)}^{3}$ y $a + 8$ .

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Paso 7.1

Factoriza $a + 8$ de ${(a + 8)}^{3} (a - 8)$ .

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))}$

Paso 7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.1

Factoriza $a + 8$ de $4 (a - 5) ((a - 5) (a + 8))$ .

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{(a + 8) (4 (a - 5) (a - 5))}$

Paso 7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 8) ({(a + 8)}^{2} (a - 8))}{(a + 8) (4 (a - 5) (a - 5))}$

Paso 7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 (a - 5) (a - 5)}$

Paso 8

Simplifica el denominador.

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Paso 8.1

Eleva $a - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 ({(a - 5)}^{1} (a - 5))}$

Paso 8.2

Eleva $a - 5$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 ({(a - 5)}^{1} {(a - 5)}^{1})}$

Paso 8.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 {(a - 5)}^{1 + 1}}$

Paso 8.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(a + 8)}^{2} (a - 8)}{4 {(a - 5)}^{2}}$